निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
- Aयदि समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या परिमित है,और $f : A \to A$ एक एकैकी (one-one) फलन है,तो $f$ अनिवार्य रूप से आच्छादक (onto) है।
- Bयदि कोई फलन अपने प्रांत में सतत है और $x$ के किन्हीं $2$ मानों के लिए अपना चिह्न बदलता है,तो दिए गए $x$ के मानों के बीच विषम संख्या में मूल (roots) स्थित होते हैं।
- Cयदि $f : A \to A$ एकैकी है,तो इसे आच्छादक होना ही चाहिए।
- Dयह संभव है कि एक वक्र एक ही बिंदु पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) और वैश्विक निम्निष्ठ (global minima) रखता हो।
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सिद्ध कीजिए कि सिग्नम फलन $f: R \rightarrow R$,जो $f(x) = \begin{cases} 1, & \text{यदि } x > 0 \\ 0, & \text{यदि } x = 0 \\ -1, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,न तो एकैकी (one-one) है और न ही आच्छादक (onto) है।
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MediumAIEEE 2012
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सिद्ध कीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$,जो $f(x)=2x$ द्वारा परिभाषित है,एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है।
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कॉलम-$I$ कॉलम-$II$ $A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि $1$. $A = R^{+}, B = R$ $B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि $2$. $A = B = R$ $C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि $3$. $A = R, B = R^{+}$ $D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि $4$. $A = B = R^{+}$
| कॉलम-$I$ | कॉलम-$II$ |
|---|---|
| $A$. $f$ एकैकी और आच्छादक है,यदि | $1$. $A = R^{+}, B = R$ |
| $B$. $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है,यदि | $2$. $A = B = R$ |
| $C$. $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है,यदि | $3$. $A = R, B = R^{+}$ |
| $D$. $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है,यदि | $4$. $A = B = R^{+}$ |
DifficultAP EAMCET 2010
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